Икосаэдр

Икосаэдр.

 

 

Икосаэдр – один из пяти типов правильных многогранников, имеет 20 граней (треугольных), 30 ребер, 12 вершин (в каждой вершине сходятся 5 ребер).

 

Икосаэдр, как правильный многогранник

Основные формулы икосаэдра

Свойства икосаэдра

 

Икосаэдр, как правильный многогранник:

Икосаэдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сиденье», «основание») – один из пяти типов правильных многогранников, имеет 20 граней (треугольных), 30 ребер, 12 вершин (в каждой вершине сходятся 5 ребер).

Если а – длина ребра икосаэдра, то его объем V = 5/12 · a³ · (3+5^1/2) ≈ 2,1817 · a³.

Икосаэдр имеет 59 звездчатых форм.

Вершины вписанного икосаэдра лежат в четырёх параллельных плоскостях.

 

Основные формулы икосаэдра:

Площадь поверхности S, объём V икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:

Площадь поверхности икосаэдра: S = 5 · a² · 3^1/2.

Объём икосаэдра: V = 5/12 · a³ · (3+5^1/2).

Радиус вписанной сферы икосаэдра: R = 1/12 · (42+18 · (5·а)^1/2)^1/2 = 1/4 · 3^1/2 · (3+5^1/2) · а.

Радиус описанной сферы икосаэдра: R = 1/4 · (2 · (5+5^1/2))^1/2 · a.

 

Свойства икосаэдра:

– двугранный угол между любыми двумя смежными гранями икосаэдра равен arccos(-√5/3) = 138,189685°;

– телесный угол при вершине икосаэдра равен 2·π – 5·arcsin(2/3) ≈ 2,63455 cp (стерадиан);

– все двенадцать вершин икосаэдра лежат по три в четырёх параллельных плоскостях, образуя в каждой из них правильный треугольник;

– десять вершин икосаэдра лежат в двух параллельных плоскостях, образуя в них два правильных пятиугольника, а остальные две — противоположны друг другу и лежат на двух концах диаметра описанной сферы, перпендикулярного этим плоскостям;

– икосаэдр можно вписать в куб, при этом шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба;

– в икосаэдр может быть вписан тетраэдр, так что четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра;

– икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра;

– в икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра;

– усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90;

– собрать модель икосаэдра можно при помощи 20 равносторонних треугольников;

– невозможно собрать икосаэдр из правильных тетраэдров, так как радиус описанной сферы вокруг икосаэдра, соответственно и длина бокового ребра (от вершины до центра такой сборки) тетраэдра меньше ребра самого икосаэдра.

 

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/Правильный_икосаэдр

Примечание: © Фото //www.pexels.com, //pixabay.com