Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы


Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы

 

 

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

 

Равнобедренный треугольник (понятие)

Свойства равнобедренного треугольника

Признаки равнобедренного треугольника

Формулы равнобедренного треугольника

Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник

 




Равнобедренный треугольник (понятие):

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья неравная им сторона – основанием.

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_1

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание,

∠ АВС – вершинный угол, ∠ BАC и ∠ BСA – углы при основании

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним).

Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании.

Различают следующие виды равнобедренных треугольников:

– остроугольный – все углы острые;

– прямоугольный – угол при вершине прямой, а при основании углы острые;

– тупоугольный – угол при вершине тупой, а при основании углы острые;

равносторонний (или правильный) – все стороны равны и все углы равны.

 


Свойства равнобедренного треугольника:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_2

Рис. 2. Равнобедренный треугольник

∠ BАC = ∠ BСA

2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов равны между собой.

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_3

Рис. 3. Равнобедренный треугольник

АН1 = СН2 – высота, АМ1 = СМ2 – медиана, АL1 = СL2 – биссектриса, проведённые из  углов при основании

 

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_4

Рис. 4. Равнобедренный треугольник

ВD – биссектриса, высота и медиана, проведенные к основанию – это один и тот же отрезок

4. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане (биссектрисе, высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника.

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_5

Рис. 5. Равнобедренный треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

 


Признаки равнобедренного треугольника:

– если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

– если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

 


Формулы равнобедренного треугольника:

Пусть a – длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b – длина основания, h – высота (биссектриса, медиана) равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, α – углы при основании, β – вершинный угол, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6, 7, 8).

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_6

Рис. 6. Равнобедренный треугольник

Формулы длины основания (b):

,

 ,

. 

Формулы длины равных сторон (а):

 .

Формулы углов:

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_7

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

,

,

.

Формулы периметра (Р) равнобедренного треугольника:

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_8

Рис. 8. Равнобедренный треугольник

,

. 

Формулы площади (S) равнобедренного треугольника:

,

,

.

 

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

 

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

 



Еще технологии...











карта сайта