Внешний угол.
Внешний угол треугольника (понятие и определение)
Теорема о внешнем угле треугольника
Внешний угол треугольника (понятие и определение):
Внешний угол треугольника или многоугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом этого треугольника или многоугольника.
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине.
В свою очередь смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными и лежат на одной прямой. Таким образом, вместе смежные углы составляют развёрнутый угол.
Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины.
Рис.1. Внешний угол треугольника
∠ ABC, ∠ BAC, ∠ ACB – внутренние углы, ∠ACD – внешний угол
Внешний угол равен разности между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от 0 до 180° не включительно.
При каждой вершине треугольника имеются два внешних угла. Таким образом, у каждого треугольника существует 6 внешних углов.
Внешние углы каждой пары при данной вершине треугольника равны между собой, так как являются вертикальными.
Рис.2. Внешние углы треугольника
∠c1 = ∠c2, ∠d1 = ∠d2, ∠f1 = ∠f2
Теорема о внешнем угле треугольника:
Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся внутренних углов треугольника, не смежных с этим внешним углом.
Рис.3. Внешний угол треугольника
∠d = ∠a + ∠c
Доказательство теоремы о внешнем угле треугольника следует из теоремы о сумме углов треугольника, равной 180°:
- пусть ABC — произвольный треугольник с внешним углом ∠d. Так как углы ∠b и ∠d – смежные, то их сумма равна 180°, то есть угол ∠d = 180° – ∠b;
- по теореме о сумме углов треугольника, угол ∠b = 180° – (∠a + ∠c);
- из этого следует, что углы ∠a + ∠c = 180 – ∠b;
- так как ∠d также равен 180 – ∠b, то угол ∠d = ∠a + ∠c. Что и требовалось доказать.
Теорема о внешнем угле треугольника используется тогда, когда пытаются вычислить меры неизвестных углов в геометрии, в задачах с многоугольниками, где используются треугольники.
Теорема о внешнем угле треугольника применима только к плоским треугольникам и не применима ни в сферической геометрии, ни в связанной с ней эллиптической геометрии (геометрии Римана).
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com